В рамках задачи реконструкции универсальное представление обратного преобразования Радона предполагает необходимость в комплексности прямого преобразования Радона, которое ведет к дополнительным вкладам. В стандартной теории обобщенных функций если первоначальная функция, генерирующая радоновский образ, является чисто вещественной функцией, то, как правило, комплексность преобразования Радона становится под вопросом. В данной работе, анализируя вырожденные (сингулярные) точки, обсуждается теорема о разрезах Фурье как возможный источник комплексности. Также продемонстрированы различные методы генерации необходимой комплексности на промежуточных этапах вычислений. Кроме того, показано, что введение гибридной функции подобно функции Вигнера обеспечивает естественным способом соответствующую комплексность. Обсуждаемая комплексность ведет не только к возникновению дополнительного вклада в обратном преобразовании Радона, но и оказывает существенное влияние на задачу о реконструкции и на процедуру оптимизации в рамках некорректных задач. Представленные методы могут быть эффективно использованы в практических решениях задач о реконструкции.
Данный обзор является введением в новейший раздел теории симметрий — теории квантовых групп.
Основы теории квантовых групп рассматриваются с точки зрения возможности их использования для деформаций симметрий в физических моделях. Подробно обсуждается R матричный подход к теории квантовых групп, который положен в основу квантования классических групп Ли, а также некоторых супергрупп Ли. Мы начинаем с изложения основ некоммутативных и некокоммутативных алгебр Хопфа. Большое внимание уделено R-матрицам Гекке и Бирман-Мураками-Венцля (BMW) и связанным с ними квантовым матричным алгебрам. Обсуждается некоммутативная дифференциальная геометрия на квантовых группах специальных типов. Представлены тригонометрические решения уравнений Янга-Бакстера, связанных с квантовыми группами GL_q(N), SO_q(N), Sp_q(2n) и супергруппами GL_q(N|M), Osp_q(N|2m), а также рациональные (янгианские) пределы этих решений. Также рассматриваются рациональные R-матрицы для исключительных алгебр Ли и эллиптические решения уравнения Янга Бакстера. Изложены основные понятия групповой алгебры группы кос и ее конечномерных факторов (таких как алгебры Гекке и BMW). Дан набросок теорий представлений алгебр Гекке и BMW, включая методы нахождения идемпотентов (квантовых проекторов Юнга) и их квантовых размерностей. Кратко обсуждаются приложения теории квантовых групп и уравнений Янга-Бакстера в различных областях теоретической физики.
Это модифицированная версия обзорной статьи, опубликованной в 2004 году в виде
препринта Института математики Макса Планка в Бонне.
